Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(7^2-4*1*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*1*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(49--32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(49+32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(81\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(81\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$k=\left(-7\pm sqrt\left(81\right)\right)/2$$

Simplificar $$81$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$81$$ é $$3^4$$

$$k=\left(-7\pm 9\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(-7+9\right)/2$$ e $$k_2=\left(-7-9\right)/2$$

$$k_1=\left(-7+9\right)/2$$

$$k_1=\left(-7+9\right)/2$$

$$k_1=\left(2\right)/2$$

$$k_1=\frac{2}{2}$$

$$k_1=1$$

$$k_2=\left(-7-9\right)/2$$

$$k_2=\left(-7-9\right)/2$$

$$k_2=\left(-16\right)/2$$

$$k_2=-\frac{16}{2}$$

$$k_2=-8$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -8, 1.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$k^2+7k-8\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$