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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

k < - 9 or k > 3

k<-9 or k>3

Notação de intervalo:

k \in (- \infty, - 9) ⋃ (3, \infty)

k∈(-∞,-9)⋃(3,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a k^{2} + b k + c > 0$

Subtrair $27$ de ambos os lados da desigualdade:

$k^{2} + 6 k > 27$

Subtrair $27$ de ambos os lados:

$k^{2} + 6 k - 27 > 27 - 27$

Simplificar a expressão

$k^{2} + 6 k - 27 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $k^{2} + 6 k - 27 > 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 6

$c$ = -27

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 6$
$c = - 27$

$k = (- 6 \pm s q r t (6^{2} - 4 * 1 * - 27)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * 1 * - 27)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * - 27)) / (2 * 1)$

$k = (- 6 \pm s q r t (36 - - 108)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 6 \pm s q r t (36 + 108)) / (2 * 1)$

$k = (- 6 \pm s q r t (144)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 6 \pm s q r t (144)) / (2)$

para obter o resultado:

$k = (- 6 \pm s q r t (144)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(144)}$

Simplificar $144$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>144</math>:

A fatoração prima de $144$ é $2^{4} \cdot 3^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{144} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$4 \cdot 3 = 12$

5. Resolver a equação para k

$k = (- 6 \pm 12) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (- 6 + 12) / 2$ e $k_{2} = (- 6 - 12) / 2$

$k_{1} = (- 6 + 12) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (- 6 + 12) / 2$

$k_{1} = (6) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = \frac{6}{2}$

$k_{1} = 3$

$k_{2} = (- 6 - 12) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (- 6 - 12) / 2$

$k_{2} = (- 18) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - \frac{18}{2}$

$k_{2} = - 9$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9, 3.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $k^{2} + 6 k - 27 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (144)

5. Resolver a equação para k

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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