Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*1*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*1*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(16--32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(16+32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(48\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$k=\left(-4\pm sqrt\left(48\right)\right)/2$$

Simplificar $$48$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$48$$ é $$2^4\cdot 3$$

$$k=\left(-4\pm 4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(-4+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$ e $$k_2=\left(-4-4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+4*1,732\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+4*1,732\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+6,928\right)/2$$

$$k_1=\left(-4+6,928\right)/2$$

$$k_1=\left(2,928\right)/2$$

$$k_1=2,\frac{928}{2}$$

$$k_1=1,464$$

$$k_2=\left(-4-4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$k_2=\left(-4-4*1,732\right)/2$$

$$k_2=\left(-4-4*1,732\right)/2$$

$$k_2=\left(-4-6,928\right)/2$$

$$k_2=\left(-4-6,928\right)/2$$

$$k_2=\left(-10,928\right)/2$$

$$k_2=-10,\frac{928}{2}$$

$$k_2=-5,464$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5,464, 1,464.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$k^2+4k-8>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$