Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

k < - 0, 414 or k > 2, 414

k<-0,414 or k>2,414

Notação de intervalo:

k \in (- \infty, - 0, 414) ⋃ (2, 414, \infty)

k∈(-∞,-0,414)⋃(2,414,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

6 passos adicionais

$k^{2} + 2 k + 1 < 2 k^{2}$

Subtrair 1 de ambos os lados:

$(k^{2} + 2 k + 1) - 2 k^{2} < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(k^{2} - 2 k^{2}) + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- k^{2} + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- k^{2} + 2 k + 1 < 0$

Subtrair 1 de ambos os lados:

$(- k^{2} + 2 k + 1) - 1 < 0 - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$- k^{2} + 2 k < 0 - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$- k^{2} + 2 k < - 1$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a k^{2} + b k + c < 0$

Adicionar $- 1$ a ambos os lados da equação.

$- 1 k^{2} + 2 k < - 1$

Adicionar $- 1$ a ambos os lados da equação.

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < - 1 + 1$

Simplificar a expressão

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ , são:

$a$ = -1

$b$ = 2

$c$ = 1

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = 2$
$c = 1$

$k = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4 * 1)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4)) / (2 * - 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 2 \pm s q r t (4 + 4)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

para obter o resultado:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(8)}$

Simplificar $8$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>8</math>:

A fatoração prima de $8$ é $2^{3}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{2}$

5. Resolver a equação para k

$k = (- 2 \pm 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$ e $k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

Remova os parênteses

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

$k_{1} = (0, 828) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = 0, \frac{828}{-} 2$

$k_{1} = - 0, 414$

$k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

$k_{2} = (- 4, 828) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - 4, \frac{828}{-} 2$

$k_{2} = 2, 414$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,414, 2,414.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (8)

5. Resolver a equação para k

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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