Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*1*-21\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*1*-21\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*-21\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100--84\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100+84\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(184\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(184\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(10\pm sqrt\left(184\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(10\pm sqrt\left(184\right)\right)/2$$

Simplificar $$184$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$184$$ é $$2^3\cdot 23$$

$$x=\left(10\pm 2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(10+2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(10-2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(10+2*6,782\right)/2$$

$$x_1=\left(10+2*6,782\right)/2$$

$$x_1=\left(10+13,565\right)/2$$

$$x_1=\left(10+13,565\right)/2$$

$$x_1=\left(23,565\right)/2$$

$$x_1=23,\frac{565}{2}$$

$$x_1=11,782$$

$$x_2=\left(10-2*sqrt\left(46\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(10-2*6,782\right)/2$$

$$x_2=\left(10-2*6,782\right)/2$$

$$x_2=\left(10-13,565\right)/2$$

$$x_2=\left(10-13,565\right)/2$$

$$x_2=\left(-3,565\right)/2$$

$$x_2=-3,\frac{565}{2}$$

$$x_2=-1,782$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,782, 11,782.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-10x-21\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$