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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

+

<

>

0

,

.

=

abc

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 4 < x < - 2

-4<x<-2

Notação de intervalo:

x \in (- 4; - 2)

x∈(-4;-2)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

9 passos adicionais

$a^{2} + 3 a + 2 < - 3 \cdot (a + 2)$

Expandir os parêntesis:

$a^{2} + 3 a + 2 < - 3 a - 3 \cdot 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$a^{2} + 3 a + 2 < - 3 a - 6$

Adicionar $2$ em ambos os lados:

$(a^{2} + 3 a + 2) + 3 a < (- 3 a - 6) + 3 a$

Agrupar termos semelhantes:

$a^{2} + (3 a + 3 a) + 2 < (- 3 a - 6) + 3 a$

Simplificar a expressão aritmética:

$a^{2} + 6 a + 2 < (- 3 a - 6) + 3 a$

Agrupar termos semelhantes:

$a^{2} + 6 a + 2 < (- 3 a + 3 a) - 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$a^{2} + 6 a + 2 < - 6$

Subtrair 2 de ambos os lados:

$(a^{2} + 6 a + 2) - 2 < - 6 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$a^{2} + 6 a < - 6 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$a^{2} + 6 a < - 8$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 8$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} + 6 x < - 8$

Adicionar $- 8$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} + 6 x + 8 < - 8 + 8$

Simplificar a expressão

$x^{2} + 6 x + 8 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $x^{2} + 6 x + 8 < 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 6

$c$ = 8

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 6$
$c = 8$

$x = (- 6 \pm s q r t (6^{2} - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * 8)) / (2 * 1)$

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 32)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 6 \pm s q r t (4)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 6 \pm s q r t (4)) / (2)$

para obter o resultado:

$x = (- 6 \pm s q r t (4)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(4)}$

Simplificar $4$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>4</math>:

A fatoração prima de $4$ é $2^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{4} = \sqrt{2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2}} = 2$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 6 \pm 2) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 6 + 2) / 2$ e $x_{2} = (- 6 - 2) / 2$

$x_{1} = (- 6 + 2) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 6 + 2) / 2$

$x_{1} = (- 4) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = - \frac{4}{2}$

$x_{1} = - 2$

$x_{2} = (- 6 - 2) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 6 - 2) / 2$

$x_{2} = (- 8) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{8}{2}$

$x_{2} = - 4$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4, -2.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $x^{2} + 6 x + 8 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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