Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*9*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*9*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-36*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100--36\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100+36\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(136\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$y=\left(-1*-10\pm sqrt\left(136\right)\right)/\left(18\right)$$

$$y=\left(10\pm sqrt\left(136\right)\right)/18$$

para obter o resultado:

$$y=\left(10\pm sqrt\left(136\right)\right)/18$$

Simplificar $$136$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$136$$ é $$2^3\cdot 17$$

$$y=\left(10\pm 2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(10+2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$ e $$y_2=\left(10-2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$

$$y_1=\left(10+2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$

$$y_1=\left(10+2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$

$$y_1=\left(10+2*5,831\right)/18$$

$$y_1=\left(10+2*5,831\right)/18$$

$$y_1=\left(10+11,662\right)/18$$

$$y_1=\left(10+11,662\right)/18$$

$$y_1=\left(21,662\right)/18$$

$$y_1=21,\frac{662}{18}$$

$$y_1=1,203$$

$$y_2=\left(10-2*sqrt\left(34\right)\right)/18$$

$$y_2=\left(10-2*5,831\right)/18$$

$$y_2=\left(10-2*5,831\right)/18$$

$$y_2=\left(10-11,662\right)/18$$

$$y_2=\left(10-11,662\right)/18$$

$$y_2=\left(-1,662\right)/18$$

$$y_2=-1,\frac{662}{18}$$

$$y_2=-0,092$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,092, 1,203.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9y^2-10y-1\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$