Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(-{12}^2-4*9*-4\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-4*9*-4\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-36*-4\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144--144\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144+144\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(18\right)$$

$$x=\left(12\pm sqrt\left(288\right)\right)/18$$

para obter o resultado:

$$x=\left(12\pm sqrt\left(288\right)\right)/18$$

Simplificar $$288$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$288$$ é $$2^5\cdot 3^2$$

$$x=\left(12\pm 12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$ e $$x_2=\left(12-12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(12+12*1,414\right)/18$$

$$x_1=\left(12+12*1,414\right)/18$$

$$x_1=\left(12+16,971\right)/18$$

$$x_1=\left(12+16,971\right)/18$$

$$x_1=\left(28,971\right)/18$$

$$x_1=28,\frac{971}{18}$$

$$x_1=1,609$$

$$x_2=\left(12-12*sqrt\left(2\right)\right)/18$$

$$x_2=\left(12-12*1,414\right)/18$$

$$x_2=\left(12-12*1,414\right)/18$$

$$x_2=\left(12-16,971\right)/18$$

$$x_2=\left(12-16,971\right)/18$$

$$x_2=\left(-4,971\right)/18$$

$$x_2=-4,\frac{971}{18}$$

$$x_2=-0,276$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,276, 1,609.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9x^2-12x-4<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$