Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(-{11}^2-4*9*-2\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*9*-2\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-36*-2\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121--72\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121+72\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(193\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(193\right)\right)/\left(18\right)$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(193\right)\right)/18$$

para obter o resultado:

$$x=\left(11\pm sqrt\left(193\right)\right)/18$$

Simplificar $$193$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$193$$ é $$193$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(193\right)\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(11+sqrt\left(193\right)\right)/18$$ e $$x_2=\left(11-sqrt\left(193\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(193\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(193\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(11+13,892\right)/18$$

$$x_1=\left(11+13,892\right)/18$$

$$x_1=\left(24,892\right)/18$$

$$x_1=24,\frac{892}{18}$$

$$x_1=1,383$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(193\right)\right)/18$$

$$x_2=\left(11-13,892\right)/18$$

$$x_2=\left(11-13,892\right)/18$$

$$x_2=\left(-2,892\right)/18$$

$$x_2=-2,\frac{892}{18}$$

$$x_2=-0,161$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,161, 1,383.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9x^2-11x-2\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$