Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(5^2-4*9*-3\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25-4*9*-3\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25-36*-3\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25--108\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25+108\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(133\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(133\right)\right)/\left(18\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(133\right)\right)/18$$

Simplificar $$133$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$133$$ é $$7\cdot 19$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(133\right)\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-5+sqrt\left(133\right)\right)/18$$ e $$x_2=\left(-5-sqrt\left(133\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-5+sqrt\left(133\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-5+sqrt\left(133\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-5+11,533\right)/18$$

$$x_1=\left(-5+11,533\right)/18$$

$$x_1=\left(6,533\right)/18$$

$$x_1=6,\frac{533}{18}$$

$$x_1=0,363$$

$$x_2=\left(-5-sqrt\left(133\right)\right)/18$$

$$x_2=\left(-5-11,533\right)/18$$

$$x_2=\left(-5-11,533\right)/18$$

$$x_2=\left(-16,533\right)/18$$

$$x_2=-16,\frac{533}{18}$$

$$x_2=-0,918$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,918, 0,363.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9x^2+5x-3<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$