Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left({31}^2-4*9*12\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(961-4*9*12\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(961-36*12\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(961-432\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(18\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-31\pm sqrt\left(529\right)\right)/18$$

Simplificar $$529$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$529$$ é $${23}^2$$

$$x=\left(-31\pm 23\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-31+23\right)/18$$ e $$x_2=\left(-31-23\right)/18$$

$$x_1=\left(-31+23\right)/18$$

$$x_1=\left(-31+23\right)/18$$

$$x_1=\left(-8\right)/18$$

$$x_1=-\frac{8}{18}$$

$$x_1=-0,444$$

$$x_2=\left(-31-23\right)/18$$

$$x_2=\left(-31-23\right)/18$$

$$x_2=\left(-54\right)/18$$

$$x_2=-\frac{54}{18}$$

$$x_2=-3$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -3, -0.444.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9x^2+31x+12\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$