Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left({212}^2-4*9*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44944-4*9*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44944-36*-1\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44944--36\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44944+36\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44980\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44980\right)\right)/\left(18\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-212\pm sqrt\left(44980\right)\right)/18$$

Simplificar $$44980$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$44980$$ é $$2^2\cdot 5\cdot 13\cdot 173$$

$$x=\left(-212\pm 2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-212+2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$ e $$x_2=\left(-212-2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+2*106,042\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+2*106,042\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+212,085\right)/18$$

$$x_1=\left(-212+212,085\right)/18$$

$$x_1=\left(0,085\right)/18$$

$$x_1=0,\frac{085}{18}$$

$$x_1=0,005$$

$$x_2=\left(-212-2*sqrt\left(11245\right)\right)/18$$

$$x_2=\left(-212-2*106,042\right)/18$$

$$x_2=\left(-212-2*106,042\right)/18$$

$$x_2=\left(-212-212,085\right)/18$$

$$x_2=\left(-212-212,085\right)/18$$

$$x_2=\left(-424,085\right)/18$$

$$x_2=-424,\frac{085}{18}$$

$$x_2=-23,56$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -23,56, 0,005.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9x^2+212x-1\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$