Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(-6^2-4*9*-8\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4*9*-8\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-36*-8\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36--288\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36+288\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(2*9\right)$$

$$k=\left(-1*-6\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(18\right)$$

$$k=\left(6\pm sqrt\left(324\right)\right)/18$$

para obter o resultado:

$$k=\left(6\pm sqrt\left(324\right)\right)/18$$

Simplificar $$324$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$324$$ é $$2^2\cdot 3^4$$

$$k=\left(6\pm 18\right)/18$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(6+18\right)/18$$ e $$k_2=\left(6-18\right)/18$$

$$k_1=\left(6+18\right)/18$$

$$k_1=\left(6+18\right)/18$$

$$k_1=\left(24\right)/18$$

$$k_1=\frac{24}{18}$$

$$k_1=1,333$$

$$k_2=\left(6-18\right)/18$$

$$k_2=\left(6-18\right)/18$$

$$k_2=\left(-12\right)/18$$

$$k_2=-\frac{12}{18}$$

$$k_2=-0,667$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,667, 1,333.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=9), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$9k^2-6k-8>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$