Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(-{12}^2-4*8*-56\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-4*8*-56\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-32*-56\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144--1792\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144+1792\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/\left(16\right)$$

$$x=\left(12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/16$$

para obter o resultado:

$$x=\left(12\pm sqrt\left(1936\right)\right)/16$$

Simplificar $$1936$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$1936$$ é $$2^4\cdot {11}^2$$

$$x=\left(12\pm 44\right)/16$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(12+44\right)/16$$ e $$x_2=\left(12-44\right)/16$$

$$x_1=\left(12+44\right)/16$$

$$x_1=\left(12+44\right)/16$$

$$x_1=\left(56\right)/16$$

$$x_1=\frac{56}{16}$$

$$x_1=3,5$$

$$x_2=\left(12-44\right)/16$$

$$x_2=\left(12-44\right)/16$$

$$x_2=\left(-32\right)/16$$

$$x_2=-\frac{32}{16}$$

$$x_2=-2$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2, 3,5.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=8), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$8x^2-12x-56\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$