Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*8*-7\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*8*-7\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-32*-7\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100--224\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100+224\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(2*8\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(16\right)$$

$$x=\left(10\pm sqrt\left(324\right)\right)/16$$

para obter o resultado:

$$x=\left(10\pm sqrt\left(324\right)\right)/16$$

Simplificar $$324$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$324$$ é $$2^2\cdot 3^4$$

$$x=\left(10\pm 18\right)/16$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(10+18\right)/16$$ e $$x_2=\left(10-18\right)/16$$

$$x_1=\left(10+18\right)/16$$

$$x_1=\left(10+18\right)/16$$

$$x_1=\left(28\right)/16$$

$$x_1=\frac{28}{16}$$

$$x_1=1,75$$

$$x_2=\left(10-18\right)/16$$

$$x_2=\left(10-18\right)/16$$

$$x_2=\left(-8\right)/16$$

$$x_2=-\frac{8}{16}$$

$$x_2=-0,5$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,5, 1,75.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=8), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$8x^2-10x-7<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$