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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{1}{6} i \cdot \sqrt{11}, x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 1}{6} i \cdot \sqrt{11}

x_{1}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}i\cdot\sqrt{11} , x_{2}=\frac{-1}{6}+\frac{-1}{6}i\cdot\sqrt{11}

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

4 passos adicionais

$8 x^{2} + 2 x > 2 x^{2} - 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(8 x^{2} + 2 x) - 2 x^{2} > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(8 x^{2} - 2 x^{2}) + 2 x > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} + 2 x > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$6 x^{2} + 2 x > (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} + 2 x > - 2$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 2$ a ambos os lados da equação.

$6 x^{2} + 2 x > - 2$

Adicionar $- 2$ a ambos os lados da equação.

$6 x^{2} + 2 x + 2 > - 2 + 2$

Simplificar a expressão

$6 x^{2} + 2 x + 2 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $6 x^{2} + 2 x + 2 > 0$ , são:

$a$ = 6

$b$ = 2

$c$ = 2

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 6$
$b = 2$
$c = 2$

$x = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * 6 * 2)) / (2 * 6)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * 6 * 2)) / (2 * 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 24 * 2)) / (2 * 6)$

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 48)) / (2 * 6)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / (2 * 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / (12)$

para obter o resultado:

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / 12$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 44)}$

Simplificar $- 44$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 44$ é $2 i \cdot \sqrt{11}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 44} = \sqrt{(- 1) \cdot 44}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 44} = i \sqrt{44}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{44} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 11}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 11} = i \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 11} = 2 i \cdot \sqrt{11}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 2 \pm 2 i * s q r t (11)) / 12$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 2 + 2 i * s q r t (11)) / 12$ e $x_{2} = (- 2 - 2 i * s q r t (11)) / 12$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 2 + 2 i \cdot \sqrt{11})}{12}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 2}{12} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{1}{6} i \cdot \sqrt{11}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 2 - 2 i \cdot \sqrt{11})}{12}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 2}{12} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 1}{6} i \cdot \sqrt{11}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas