Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 9 \leq y \leq - 0, 714

-9<=y<=-0,714

Notação de intervalo:

y \in [- 9, - 0, 714]

y∈[-9,-0,714]

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

6 passos adicionais

$7 y^{2} + 5 y < = - 9 \cdot (7 y + 5)$

Expandir os parêntesis:

$7 y^{2} + 5 y < = - 9 \cdot 7 y - 9 \cdot 5$

Multiplicar coeficientes:

$7 y^{2} + 5 y < = - 63 y - 9 \cdot 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 y^{2} + 5 y < = - 63 y - 45$

Adicionar $63 y$ em ambos os lados:

$(7 y^{2} + 5 y) + 63 y < = (- 63 y - 45) + 63 y$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 y^{2} + 68 y < = (- 63 y - 45) + 63 y$

Agrupar termos semelhantes:

$7 y^{2} + 68 y < = (- 63 y + 63 y) - 45$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 y^{2} + 68 y < = - 45$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a y^{2} + b y + c \leq 0$

Adicionar $- 45$ a ambos os lados da equação.

$7 y^{2} + 68 y \leq - 45$

Adicionar $- 45$ a ambos os lados da equação.

$7 y^{2} + 68 y + 45 \leq - 45 + 45$

Simplificar a expressão

$7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$ , são:

$a$ = 7

$b$ = 68

$c$ = 45

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a y^{2} + b y + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 7$
$b = 68$
$c = 45$

$y = (- 68 \pm s q r t (68^{2} - 4 * 7 * 45)) / (2 * 7)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 4 * 7 * 45)) / (2 * 7)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 28 * 45)) / (2 * 7)$

$y = (- 68 \pm s q r t (4624 - 1260)) / (2 * 7)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / (2 * 7)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / (14)$

para obter o resultado:

$y = (- 68 \pm s q r t (3364)) / 14$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(3364)}$

Simplificar $3364$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>3364</math>:

A fatoração prima de $3364$ é $2^{2} \cdot 29^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{3364} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 29}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 29} = \sqrt{2^{2} \cdot 29^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 29^{2}} = 2 \cdot 29$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 29 = 58$

5. Resolver a equação para y

$y = (- 68 \pm 58) / 14$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $y_{1} = (- 68 + 58) / 14$ e $y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

$y_{1} = (- 68 + 58) / 14$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y_{1} = (- 68 + 58) / 14$

$y_{1} = (- 10) / 14$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y_{1} = - \frac{10}{14}$

$y_{1} = - 0, 714$

$y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y_{2} = (- 68 - 58) / 14$

$y_{2} = (- 126) / 14$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y_{2} = - \frac{126}{14}$

$y_{2} = - 9$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9, -0.714.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =7), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $7 y^{2} + 68 y + 45 \leq 0$ tem um sinal de desigualdade $\leq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (3364)

5. Resolver a equação para y

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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