Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 2, 686 \leq x \leq 0, 186

-2,686<=x<=0,186

Notação de intervalo:

x \in [- 2, 686, 0, 186]

x∈[-2,686,0,186]

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$7 x^{2} + 5 x - 13 < = 3 x^{2} - 5 x - 11$

Adicionar $13$ em ambos os lados:

$(7 x^{2} + 5 x - 13) + 5 x < = (3 x^{2} - 5 x - 11) + 5 x$

Agrupar termos semelhantes:

$7 x^{2} + (5 x + 5 x) - 13 < = (3 x^{2} - 5 x - 11) + 5 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} + 10 x - 13 < = (3 x^{2} - 5 x - 11) + 5 x$

Agrupar termos semelhantes:

$7 x^{2} + 10 x - 13 < = 3 x^{2} + (- 5 x + 5 x) - 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} + 10 x - 13 < = 3 x^{2} - 11$

Subtrair 13 de ambos os lados:

$(7 x^{2} + 10 x - 13) - 3 x^{2} < = (3 x^{2} - 11) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(7 x^{2} - 3 x^{2}) + 10 x - 13 < = (3 x^{2} - 11) - 3 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 10 x - 13 < = (3 x^{2} - 11) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$4 x^{2} + 10 x - 13 < = (3 x^{2} - 3 x^{2}) - 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 10 x - 13 < = - 11$

Adicionar $13$ em ambos os lados:

$(4 x^{2} + 10 x - 13) + 13 < = - 11 + 13$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 10 x < = - 11 + 13$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 10 x < = 2$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \leq 0$

Subtrair $2$ de ambos os lados da desigualdade:

$4 x^{2} + 10 x \leq 2$

Subtrair $2$ de ambos os lados:

$4 x^{2} + 10 x - 2 \leq 2 - 2$

Simplificar a expressão

$4 x^{2} + 10 x - 2 \leq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $4 x^{2} + 10 x - 2 \leq 0$ , são:

$a$ = 4

$b$ = 10

$c$ = -2

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 4$
$b = 10$
$c = - 2$

$x = (- 10 \pm s q r t (10^{2} - 4 * 4 * - 2)) / (2 * 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * 4 * - 2)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 16 * - 2)) / (2 * 4)$

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - - 32)) / (2 * 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 10 \pm s q r t (100 + 32)) / (2 * 4)$

$x = (- 10 \pm s q r t (132)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (132)) / (8)$

para obter o resultado:

$x = (- 10 \pm s q r t (132)) / 8$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(132)}$

Simplificar $132$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>132</math>:

A fatoração prima de $132$ é $2^{2} \cdot 3 \cdot 11$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{132} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11} = \sqrt{2^{2} \cdot 3 \cdot 11}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 3 \cdot 11} = 2 \cdot \sqrt{3 \cdot 11}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot \sqrt{3 \cdot 11} = 2 \cdot \sqrt{33}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 10 \pm 2 * s q r t (33)) / 8$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 10 + 2 * s q r t (33)) / 8$ e $x_{2} = (- 10 - 2 * s q r t (33)) / 8$

$x_{1} = (- 10 + 2 * s q r t (33)) / 8$

Remova os parênteses

$x_{1} = (- 10 + 2 * s q r t (33)) / 8$

$x_{1} = (- 10 + 2 * 5, 745) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = (- 10 + 2 * 5, 745) / 8$

$x_{1} = (- 10 + 11, 489) / 8$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 10 + 11, 489) / 8$

$x_{1} = (1, 489) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = 1, \frac{489}{8}$

$x_{1} = 0, 186$

$x_{2} = (- 10 - 2 * s q r t (33)) / 8$

$x_{2} = (- 10 - 2 * 5, 745) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = (- 10 - 2 * 5, 745) / 8$

$x_{2} = (- 10 - 11, 489) / 8$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 10 - 11, 489) / 8$

$x_{2} = (- 21, 489) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - 21, \frac{489}{8}$

$x_{2} = - 2, 686$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,686, 0,186.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $4 x^{2} + 10 x - 2 \leq 0$ tem um sinal de desigualdade $\leq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (132)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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