Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{m}^2+bm+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$m=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(8^2-4*7*-6\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(64-4*7*-6\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(64-28*-6\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(64--168\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(64+168\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(232\right)\right)/\left(2*7\right)$$

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(232\right)\right)/\left(14\right)$$

para obter o resultado:

$$m=\left(-8\pm sqrt\left(232\right)\right)/14$$

Simplificar $$232$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$232$$ é $$2^3\cdot 29$$

$$m=\left(-8\pm 2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$m_1=\left(-8+2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$ e $$m_2=\left(-8-2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+2*7,616\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+2*7,616\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+15,232\right)/14$$

$$m_1=\left(-8+15,232\right)/14$$

$$m_1=\left(7,232\right)/14$$

$$m_1=7,\frac{232}{14}$$

$$m_1=0,517$$

$$m_2=\left(-8-2*sqrt\left(58\right)\right)/14$$

$$m_2=\left(-8-2*7,616\right)/14$$

$$m_2=\left(-8-2*7,616\right)/14$$

$$m_2=\left(-8-15,232\right)/14$$

$$m_2=\left(-8-15,232\right)/14$$

$$m_2=\left(-23,232\right)/14$$

$$m_2=-23,\frac{232}{14}$$

$$m_2=-1,659$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,659, 0,517.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=7), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$7m^2+8m-6<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$