Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left({97}^2-4*70*-24\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(9409-4*70*-24\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(9409-280*-24\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(9409--6720\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(9409+6720\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(16129\right)\right)/\left(2*70\right)$$

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(16129\right)\right)/\left(140\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-97\pm sqrt\left(16129\right)\right)/140$$

Simplificar $$16129$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$16129$$ é $${127}^2$$

$$x=\left(-97\pm 127\right)/140$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-97+127\right)/140$$ e $$x_2=\left(-97-127\right)/140$$

$$x_1=\left(-97+127\right)/140$$

$$x_1=\left(-97+127\right)/140$$

$$x_1=\left(30\right)/140$$

$$x_1=\frac{30}{140}$$

$$x_1=0,214$$

$$x_2=\left(-97-127\right)/140$$

$$x_2=\left(-97-127\right)/140$$

$$x_2=\left(-224\right)/140$$

$$x_2=-\frac{224}{140}$$

$$x_2=-1,6$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,6, 0,214.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=70), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$70x^2+97x-24<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$