Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*6*-21\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*6*-21\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-24*-21\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49--504\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49+504\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(553\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(553\right)\right)/\left(12\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(553\right)\right)/12$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(553\right)\right)/12$$

Simplificar $$553$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$553$$ é $$7\cdot 79$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(553\right)\right)/12$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+sqrt\left(553\right)\right)/12$$ e $$x_2=\left(7-sqrt\left(553\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(553\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(553\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(7+23,516\right)/12$$

$$x_1=\left(7+23,516\right)/12$$

$$x_1=\left(30,516\right)/12$$

$$x_1=30,\frac{516}{12}$$

$$x_1=2,543$$

$$x_2=\left(7-sqrt\left(553\right)\right)/12$$

$$x_2=\left(7-23,516\right)/12$$

$$x_2=\left(7-23,516\right)/12$$

$$x_2=\left(-16,516\right)/12$$

$$x_2=-16,\frac{516}{12}$$

$$x_2=-1,376$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,376, 2,543.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$6x^2-7x-21\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$