Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$6x^2-66x-11<0$$, são:

$$a$$ = 6

$$b$$ = -66

$$c$$ = -11

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(-{66}^2-4*6*-11\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4356-4*6*-11\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4356-24*-11\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4356--264\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4356+264\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4620\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-66\pm sqrt\left(4620\right)\right)/\left(12\right)$$

$$x=\left(66\pm sqrt\left(4620\right)\right)/12$$

para obter o resultado:

$$x=\left(66\pm sqrt\left(4620\right)\right)/12$$

Simplificar $$4620$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$4620$$ é $$2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$$

$$x=\left(66\pm 2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(66+2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$ e $$x_2=\left(66-2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(66+2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(66+2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(66+2*33,985\right)/12$$

$$x_1=\left(66+2*33,985\right)/12$$

$$x_1=\left(66+67,971\right)/12$$

$$x_1=\left(66+67,971\right)/12$$

$$x_1=\left(133,971\right)/12$$

$$x_1=133,\frac{971}{12}$$

$$x_1=11,164$$

$$x_2=\left(66-2*sqrt\left(1155\right)\right)/12$$

$$x_2=\left(66-2*33,985\right)/12$$

$$x_2=\left(66-2*33,985\right)/12$$

$$x_2=\left(66-67,971\right)/12$$

$$x_2=\left(66-67,971\right)/12$$

$$x_2=\left(-1,971\right)/12$$

$$x_2=-1,\frac{971}{12}$$

$$x_2=-0,164$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,164, 11,164.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$6x^2-66x-11<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$