Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 0, 2 < x < 3

-0,2<x<3

Notação de intervalo:

x \in (- 0.2; 3)

x∈(-0.2;3)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$6 x^{2} - 5 x - 7 < x^{2} + 9 x - 4$

Subtrair 7 de ambos os lados:

$(6 x^{2} - 5 x - 7) - 9 x < (x^{2} + 9 x - 4) - 9 x$

Agrupar termos semelhantes:

$6 x^{2} + (- 5 x - 9 x) - 7 < (x^{2} + 9 x - 4) - 9 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} - 14 x - 7 < (x^{2} + 9 x - 4) - 9 x$

Agrupar termos semelhantes:

$6 x^{2} - 14 x - 7 < x^{2} + (9 x - 9 x) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} - 14 x - 7 < x^{2} - 4$

Subtrair 7 de ambos os lados:

$(6 x^{2} - 14 x - 7) - x^{2} < (x^{2} - 4) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(6 x^{2} - x^{2}) - 14 x - 7 < (x^{2} - 4) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 14 x - 7 < (x^{2} - 4) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} - 14 x - 7 < (x^{2} - x^{2}) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 14 x - 7 < - 4$

Adicionar $7$ em ambos os lados:

$(5 x^{2} - 14 x - 7) + 7 < - 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 14 x < - 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 14 x < 3$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $3$ de ambos os lados da desigualdade:

$5 x^{2} - 14 x < 3$

Subtrair $3$ de ambos os lados:

$5 x^{2} - 14 x - 3 < 3 - 3$

Simplificar a expressão

$5 x^{2} - 14 x - 3 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $5 x^{2} - 14 x - 3 < 0$ , são:

$a$ = 5

$b$ = -14

$c$ = -3

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 5$
$b = - 14$
$c = - 3$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (- 14^{2} - 4 * 5 * - 3)) / (2 * 5)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - 4 * 5 * - 3)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - 20 * - 3)) / (2 * 5)$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - - 60)) / (2 * 5)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 + 60)) / (2 * 5)$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (256)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (256)) / (10)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (14 \pm s q r t (256)) / 10$

para obter o resultado:

$x = (14 \pm s q r t (256)) / 10$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(256)}$

Simplificar $256$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>256</math>:

A fatoração prima de $256$ é $2^{8}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{256} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2$

$4 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2$

$8 \cdot 2 = 16$

5. Resolver a equação para x

$x = (14 \pm 16) / 10$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (14 + 16) / 10$ e $x_{2} = (14 - 16) / 10$

$x_{1} = (14 + 16) / 10$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (14 + 16) / 10$

$x_{1} = (30) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{30}{10}$

$x_{1} = 3$

$x_{2} = (14 - 16) / 10$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (14 - 16) / 10$

$x_{2} = (- 2) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{2}{10}$

$x_{2} = - 0, 2$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,2, 3.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $5 x^{2} - 14 x - 3 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (256)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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