Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(-5^2-4*6*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4*6*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-24*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25--24\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25+24\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(49\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(49\right)\right)/\left(12\right)$$

$$x=\left(5\pm sqrt\left(49\right)\right)/12$$

para obter o resultado:

$$x=\left(5\pm sqrt\left(49\right)\right)/12$$

Simplificar $$49$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$49$$ é $$7^2$$

$$x=\left(5\pm 7\right)/12$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(5+7\right)/12$$ e $$x_2=\left(5-7\right)/12$$

$$x_1=\left(5+7\right)/12$$

$$x_1=\left(5+7\right)/12$$

$$x_1=\left(12\right)/12$$

$$x_1=\frac{12}{12}$$

$$x_1=1$$

$$x_2=\left(5-7\right)/12$$

$$x_2=\left(5-7\right)/12$$

$$x_2=\left(-2\right)/12$$

$$x_2=-\frac{2}{12}$$

$$x_2=-0,167$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,167, 1.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$6x^2-5x-1\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$