Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

1, 667 < x < 2, 5

1,667<x<2,5

Notação de intervalo:

x \in (1.667; 2.5)

x∈(1.667;2.5)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

5 passos adicionais

$6 x^{2} - 20 x < 5 \cdot (x - 5)$

Expandir os parêntesis:

$6 x^{2} - 20 x < 5 x + 5 \cdot - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} - 20 x < 5 x - 25$

Subtrair 5x de ambos os lados:

$(6 x^{2} - 20 x) - 5 x < (5 x - 25) - 5 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} - 25 x < (5 x - 25) - 5 x$

Agrupar termos semelhantes:

$6 x^{2} - 25 x < (5 x - 5 x) - 25$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x^{2} - 25 x < - 25$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 25$ a ambos os lados da equação.

$6 x^{2} - 25 x < - 25$

Adicionar $- 25$ a ambos os lados da equação.

$6 x^{2} - 25 x + 25 < - 25 + 25$

Simplificar a expressão

$6 x^{2} - 25 x + 25 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $6 x^{2} - 25 x + 25 < 0$ , são:

$a$ = 6

$b$ = -25

$c$ = 25

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 6$
$b = - 25$
$c = 25$

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (- 25^{2} - 4 * 6 * 25)) / (2 * 6)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (625 - 4 * 6 * 25)) / (2 * 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (625 - 24 * 25)) / (2 * 6)$

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (625 - 600)) / (2 * 6)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (25)) / (2 * 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 25 \pm s q r t (25)) / (12)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (25 \pm s q r t (25)) / 12$

para obter o resultado:

$x = (25 \pm s q r t (25)) / 12$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(25)}$

Simplificar $25$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>25</math>:

A fatoração prima de $25$ é $5^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{25} = \sqrt{5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{5^{2}} = 5$

5. Resolver a equação para x

$x = (25 \pm 5) / 12$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (25 + 5) / 12$ e $x_{2} = (25 - 5) / 12$

$x_{1} = (25 + 5) / 12$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (25 + 5) / 12$

$x_{1} = (30) / 12$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{30}{12}$

$x_{1} = 2, 5$

$x_{2} = (25 - 5) / 12$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (25 - 5) / 12$

$x_{2} = (20) / 12$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = \frac{20}{12}$

$x_{2} = 1, 667$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,667, 2,5.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $6 x^{2} - 25 x + 25 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (25)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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