Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left({25}^2-4*6*-9\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625-4*6*-9\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625-24*-9\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625--216\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625+216\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(841\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(841\right)\right)/\left(12\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(841\right)\right)/12$$

Simplificar $$841$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$841$$ é $${29}^2$$

$$x=\left(-25\pm 29\right)/12$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-25+29\right)/12$$ e $$x_2=\left(-25-29\right)/12$$

$$x_1=\left(-25+29\right)/12$$

$$x_1=\left(-25+29\right)/12$$

$$x_1=\left(4\right)/12$$

$$x_1=\frac{4}{12}$$

$$x_1=0,333$$

$$x_2=\left(-25-29\right)/12$$

$$x_2=\left(-25-29\right)/12$$

$$x_2=\left(-54\right)/12$$

$$x_2=-\frac{54}{12}$$

$$x_2=-4,5$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4,5, 0,333.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$6x^2+25x-9\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$