Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left({10}^2-4*6*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-4*6*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-24*-1\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100--24\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100+24\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(2*6\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(12\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(124\right)\right)/12$$

Simplificar $$124$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$124$$ é $$2^2\cdot 31$$

$$x=\left(-10\pm 2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-10+2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$ e $$x_2=\left(-10-2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+2*5,568\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+2*5,568\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+11,136\right)/12$$

$$x_1=\left(-10+11,136\right)/12$$

$$x_1=\left(1,136\right)/12$$

$$x_1=1,\frac{136}{12}$$

$$x_1=0,095$$

$$x_2=\left(-10-2*sqrt\left(31\right)\right)/12$$

$$x_2=\left(-10-2*5,568\right)/12$$

$$x_2=\left(-10-2*5,568\right)/12$$

$$x_2=\left(-10-11,136\right)/12$$

$$x_2=\left(-10-11,136\right)/12$$

$$x_2=\left(-21,136\right)/12$$

$$x_2=-21,\frac{136}{12}$$

$$x_2=-1,761$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,761, 0,095.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=6), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$6x^2+10x-1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$