Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x < - 2 or x > 6

x<-2 or x>6

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, - 2) ⋃ (6, \infty)

x∈(-∞,-2)⋃(6,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

18 passos adicionais

$6 x + 5 < x^{2} + 2 x - 7$

Subtrair 4x de ambos os lados:

$(6 x + 5) - 2 x < (x^{2} + 2 x - 7) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(6 x - 2 x) + 5 < (x^{2} + 2 x - 7) - 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x + 5 < (x^{2} + 2 x - 7) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$4 x + 5 < x^{2} + (2 x - 2 x) - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x + 5 < x^{2} - 7$

Subtrair 4x de ambos os lados:

$(4 x + 5) - x^{2} < (x^{2} - 7) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(4 x + 5) - x^{2} < (x^{2} - x^{2}) - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$(4 x + 5) - x^{2} < - 7$

Subtrair 4x de ambos os lados:

$((4 x + 5) - x^{2}) - (4 x + 5) < - 7 - (4 x + 5)$

Expandir os parêntesis:

$4 x + 5 - x^{2} - 4 x - 5 < - 7 - (4 x + 5)$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} + (4 x - 4 x) + (5 - 5) < - 7 - (4 x + 5)$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} + 0 x < - 7 - (4 x + 5)$

$- x^{2} < - 7 - (4 x + 5)$

Expandir os parêntesis:

$- x^{2} < - 7 - 4 x - 5$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} < - 4 x + (- 7 - 5)$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} < - 4 x - 12$

Adicionar $4 x$ em ambos os lados:

$- x^{2} + 4 x < (- 4 x - 12) + 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} + 4 x < (- 4 x + 4 x) - 12$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} + 4 x < - 12$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 12$ a ambos os lados da equação.

$- 1 x^{2} + 4 x < - 12$

Adicionar $- 12$ a ambos os lados da equação.

$- 1 x^{2} + 4 x + 12 < - 12 + 12$

Simplificar a expressão

$- 1 x^{2} + 4 x + 12 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 1 x^{2} + 4 x + 12 < 0$ , são:

$a$ = -1

$b$ = 4

$c$ = 12

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = 4$
$c = 12$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * - 1 * 12)) / (2 * - 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * - 1 * 12)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 4 * 12)) / (2 * - 1)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 48)) / (2 * - 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 4 \pm s q r t (16 + 48)) / (2 * - 1)$

$x = (- 4 \pm s q r t (64)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (64)) / (- 2)$

para obter o resultado:

$x = (- 4 \pm s q r t (64)) / (- 2)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(64)}$

Simplificar $64$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>64</math>:

A fatoração prima de $64$ é $2^{6}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{64} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$4 \cdot 2 = 8$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 4 \pm 8) / (- 2)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 4 + 8) / (- 2)$ e $x_{2} = (- 4 - 8) / (- 2)$

$x_{1} = (- 4 + 8) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 4 + 8) / (- 2)$

$x_{1} = (4) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{4}{-} 2$

$x_{1} = - 2$

$x_{2} = (- 4 - 8) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 4 - 8) / (- 2)$

$x_{2} = (- 12) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{12}{-} 2$

$x_{2} = 6$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2, 6.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 1 x^{2} + 4 x + 12 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (64)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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