Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

k < - 6 or k > 4

k<-6 or k>4

Notação de intervalo:

k \in (- \infty, - 6) ⋃ (4, \infty)

k∈(-∞,-6)⋃(4,∞)

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

8 passos adicionais

$64 - (4 \cdot (k^{2} + 2 k - 8)) < 0$

Expandir os parêntesis:

$64 - (4 k^{2} + 4 \cdot 2 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Multiplicar coeficientes:

$64 - (4 k^{2} + 8 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$64 - (4 k^{2} + 8 k - 32) < 0$

Expandir os parêntesis:

$64 - 4 k^{2} - 8 k + 32 < 0$

Agrupar termos semelhantes:

$- 4 k^{2} - 8 k + (64 + 32) < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

Subtrair 96 de ambos os lados:

$(- 4 k^{2} - 8 k + 96) - 96 < 0 - 96$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 4 k^{2} - 8 k < 0 - 96$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a k^{2} + b k + c < 0$

Adicionar $- 96$ a ambos os lados da equação.

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Adicionar $- 96$ a ambos os lados da equação.

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < - 96 + 96$

Simplificar a expressão

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ , são:

$a$ = -4

$b$ = -8

$c$ = 96

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = - 8$
$c = 96$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 16 * 96)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 1536)) / (2 * - 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 + 1536)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

para obter o resultado:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(1600)}$

Simplificar $1600$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>1600</math>:

A fatoração prima de $1600$ é $2^{6} \cdot 5^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{1600} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 2 \cdot 5$

$4 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 5$

$8 \cdot 5 = 40$

5. Resolver a equação para k

$k = (8 \pm 40) / (- 8)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$ e $k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

$k_{1} = (48) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = \frac{48}{-} 8$

$k_{1} = - 6$

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{2} = (- 32) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - \frac{32}{-} 8$

$k_{2} = 4$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -6, 4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-4), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (1600)

5. Resolver a equação para k

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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