Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(-{32}^2-4*63*-63\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(1024-4*63*-63\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(1024-252*-63\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(1024--15876\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(1024+15876\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(16900\right)\right)/\left(2*63\right)$$

$$x=\left(-1*-32\pm sqrt\left(16900\right)\right)/\left(126\right)$$

$$x=\left(32\pm sqrt\left(16900\right)\right)/126$$

para obter o resultado:

$$x=\left(32\pm sqrt\left(16900\right)\right)/126$$

Simplificar $$16900$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$16900$$ é $$2^2\cdot 5^2\cdot {13}^2$$

$$x=\left(32\pm 130\right)/126$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(32+130\right)/126$$ e $$x_2=\left(32-130\right)/126$$

$$x_1=\left(32+130\right)/126$$

$$x_1=\left(32+130\right)/126$$

$$x_1=\left(162\right)/126$$

$$x_1=\frac{162}{126}$$

$$x_1=1,286$$

$$x_2=\left(32-130\right)/126$$

$$x_2=\left(32-130\right)/126$$

$$x_2=\left(-98\right)/126$$

$$x_2=-\frac{98}{126}$$

$$x_2=-0,778$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,778, 1,286.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=63), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$63x^2-32x-63>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$