Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*5*-7\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*5*-7\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16-20*-7\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16--140\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16+140\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(156\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(156\right)\right)/\left(10\right)$$

para obter o resultado:

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(156\right)\right)/10$$

Simplificar $$156$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$156$$ é $$2^2\cdot 3\cdot 13$$

$$y=\left(-4\pm 2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$ e $$y_2=\left(-4-2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+2*6,245\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+2*6,245\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+12,49\right)/10$$

$$y_1=\left(-4+12,49\right)/10$$

$$y_1=\left(8,49\right)/10$$

$$y_1=8,\frac{49}{10}$$

$$y_1=0,849$$

$$y_2=\left(-4-2*sqrt\left(39\right)\right)/10$$

$$y_2=\left(-4-2*6,245\right)/10$$

$$y_2=\left(-4-2*6,245\right)/10$$

$$y_2=\left(-4-12,49\right)/10$$

$$y_2=\left(-4-12,49\right)/10$$

$$y_2=\left(-16,49\right)/10$$

$$y_2=-16,\frac{49}{10}$$

$$y_2=-1,649$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,649, 0,849.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5y^2+4y-7>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$