Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left({21}^2-4*5*-75\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(441-4*5*-75\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(441-20*-75\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(441--1500\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(441+1500\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(1941\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(1941\right)\right)/\left(10\right)$$

para obter o resultado:

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

Simplificar $$1941$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$1941$$ é $$3\cdot 647$$

$$y=\left(-21\pm sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(-21+sqrt\left(1941\right)\right)/10$$ e $$y_2=\left(-21-sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-21+sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-21+sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

$$y_1=\left(-21+44,057\right)/10$$

$$y_1=\left(-21+44,057\right)/10$$

$$y_1=\left(23,057\right)/10$$

$$y_1=23,\frac{057}{10}$$

$$y_1=2,306$$

$$y_2=\left(-21-sqrt\left(1941\right)\right)/10$$

$$y_2=\left(-21-44,057\right)/10$$

$$y_2=\left(-21-44,057\right)/10$$

$$y_2=\left(-65,057\right)/10$$

$$y_2=-65,\frac{057}{10}$$

$$y_2=-6,506$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -6,506, 2,306.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5y^2+21y-75\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$