Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*5*-8\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*5*-8\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-20*-8\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49--160\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49+160\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/\left(10\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(209\right)\right)/10$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(209\right)\right)/10$$

Simplificar $$209$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$209$$ é $$11\cdot 19$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(209\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+sqrt\left(209\right)\right)/10$$ e $$x_2=\left(7-sqrt\left(209\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(209\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(209\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(7+14,457\right)/10$$

$$x_1=\left(7+14,457\right)/10$$

$$x_1=\left(21,457\right)/10$$

$$x_1=21,\frac{457}{10}$$

$$x_1=2,146$$

$$x_2=\left(7-sqrt\left(209\right)\right)/10$$

$$x_2=\left(7-14,457\right)/10$$

$$x_2=\left(7-14,457\right)/10$$

$$x_2=\left(-7,457\right)/10$$

$$x_2=-7,\frac{457}{10}$$

$$x_2=-0,746$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,746, 2,146.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5x^2-7x-8<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$