Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(-{23}^2-4*5*-42\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(529-4*5*-42\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(529-20*-42\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(529--840\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(529+840\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(1369\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-23\pm sqrt\left(1369\right)\right)/\left(10\right)$$

$$x=\left(23\pm sqrt\left(1369\right)\right)/10$$

para obter o resultado:

$$x=\left(23\pm sqrt\left(1369\right)\right)/10$$

Simplificar $$1369$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$1369$$ é $${37}^2$$

$$x=\left(23\pm 37\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(23+37\right)/10$$ e $$x_2=\left(23-37\right)/10$$

$$x_1=\left(23+37\right)/10$$

$$x_1=\left(23+37\right)/10$$

$$x_1=\left(60\right)/10$$

$$x_1=\frac{60}{10}$$

$$x_1=6$$

$$x_2=\left(23-37\right)/10$$

$$x_2=\left(23-37\right)/10$$

$$x_2=\left(-14\right)/10$$

$$x_2=-\frac{14}{10}$$

$$x_2=-1,4$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,4, 6.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5x^2-23x-42>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$