Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*5*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*5*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-20*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100--20\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100+20\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(120\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(120\right)\right)/\left(10\right)$$

$$x=\left(10\pm sqrt\left(120\right)\right)/10$$

para obter o resultado:

$$x=\left(10\pm sqrt\left(120\right)\right)/10$$

Simplificar $$120$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$120$$ é $$2^3\cdot 3\cdot 5$$

$$x=\left(10\pm 2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(10+2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$ e $$x_2=\left(10-2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(10+2*5,477\right)/10$$

$$x_1=\left(10+2*5,477\right)/10$$

$$x_1=\left(10+10,954\right)/10$$

$$x_1=\left(10+10,954\right)/10$$

$$x_1=\left(20,954\right)/10$$

$$x_1=20,\frac{954}{10}$$

$$x_1=2,095$$

$$x_2=\left(10-2*sqrt\left(30\right)\right)/10$$

$$x_2=\left(10-2*5,477\right)/10$$

$$x_2=\left(10-2*5,477\right)/10$$

$$x_2=\left(10-10,954\right)/10$$

$$x_2=\left(10-10,954\right)/10$$

$$x_2=\left(-0,954\right)/10$$

$$x_2=-0,\frac{954}{10}$$

$$x_2=-0,095$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,095, 2,095.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5x^2-10x-1>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$