Copyright Ⓒ 2013-2026
tiger-algebra.com

This site is best viewed with Javascript. If you are unable to turn on Javascript, please click here.

Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}, x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}

x_{1}=\frac{-3}{2}+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{6} , x_{2}=\frac{-3}{2}+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{6}

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

10 passos adicionais

$5 x^{2} + 8 x + 15 > x^{2} - 4 x$

Adicionar $15$ em ambos os lados:

$(5 x^{2} + 8 x + 15) + 4 x > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + (8 x + 4 x) + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > x^{2}$

Subtrair 15 de ambos os lados:

$(5 x^{2} + 12 x + 15) - x^{2} > (x^{2}) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x^{2} - x^{2}) + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

Subtrair 15 de ambos os lados:

$(4 x^{2} + 12 x + 15) - 15 > 0 - 15$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 12 x > 0 - 15$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$4 x^{2} + 12 x + 15 > - 15 + 15$

Simplificar a expressão

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$ , são:

$a$ = 4

$b$ = 12

$c$ = 15

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 4$
$b = 12$
$c = 15$

$x = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 16 * 15)) / (2 * 4)$

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 240)) / (2 * 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (8)$

para obter o resultado:

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / 8$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 96)}$

Simplificar $- 96$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 96$ é $4 i \cdot \sqrt{6}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 96} = \sqrt{(- 1) \cdot 96}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 96} = i \sqrt{96}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{96} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{6}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 12 \pm 4 i * s q r t (6)) / 8$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 12 + 4 i * s q r t (6)) / 8$ e $x_{2} = (- 12 - 4 i * s q r t (6)) / 8$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 12 + 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 12}{8} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 12 - 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 12}{8} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

Deixa-nos um comentário

Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Ligações relacionadas