Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 4, 464 \leq x \leq 2, 464

-4,464<=x<=2,464

Notação de intervalo:

x \in [- 4, 464, 2, 464]

x∈[-4,464,2,464]

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$5 x^{2} + 2 x - 16 < = 3 x^{2} - 2 x + 6$

Adicionar $16$ em ambos os lados:

$(5 x^{2} + 2 x - 16) + 2 x < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + (2 x + 2 x) - 16 < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = 3 x^{2} + (- 2 x + 2 x) + 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = 3 x^{2} + 6$

Subtrair 16 de ambos os lados:

$(5 x^{2} + 4 x - 16) - 3 x^{2} < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x^{2} - 3 x^{2}) + 4 x - 16 < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} - 3 x^{2}) + 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = 6$

Adicionar $16$ em ambos os lados:

$(2 x^{2} + 4 x - 16) + 16 < = 6 + 16$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x < = 6 + 16$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x < = 22$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \leq 0$

Subtrair $22$ de ambos os lados da desigualdade:

$2 x^{2} + 4 x \leq 22$

Subtrair $22$ de ambos os lados:

$2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 22 - 22$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = 4

$c$ = -22

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = 4$
$c = - 22$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * 2 * - 22)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * 2 * - 22)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 8 * - 22)) / (2 * 2)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 176)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 4 \pm s q r t (16 + 176)) / (2 * 2)$

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / (4)$

para obter o resultado:

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(192)}$

Simplificar $192$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>192</math>:

A fatoração prima de $192$ é $2^{6} \cdot 3$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{192} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

$4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot \sqrt{3}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 4 \pm 8 * s q r t (3)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$ e $x_{2} = (- 4 - 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$

Remova os parênteses

$x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 8 * 1, 732) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = (- 4 + 8 * 1, 732) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 13, 856) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 4 + 13, 856) / 4$

$x_{1} = (9, 856) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = 9, \frac{856}{4}$

$x_{1} = 2, 464$

$x_{2} = (- 4 - 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{2} = (- 4 - 8 * 1, 732) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = (- 4 - 8 * 1, 732) / 4$

$x_{2} = (- 4 - 13, 856) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 4 - 13, 856) / 4$

$x_{2} = (- 17, 856) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - 17, \frac{856}{4}$

$x_{2} = - 4, 464$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4,464, 2,464.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$ tem um sinal de desigualdade $\leq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (192)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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