Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*5*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*5*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-20*-1\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--20\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+20\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(10\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/10$$

Simplificar $$24$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$24$$ é $$2^3\cdot 3$$

$$x=\left(-2\pm 2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$ e $$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+2*2,449\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+2*2,449\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+4,899\right)/10$$

$$x_1=\left(-2+4,899\right)/10$$

$$x_1=\left(2,899\right)/10$$

$$x_1=2,\frac{899}{10}$$

$$x_1=0,29$$

$$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(6\right)\right)/10$$

$$x_2=\left(-2-2*2,449\right)/10$$

$$x_2=\left(-2-2*2,449\right)/10$$

$$x_2=\left(-2-4,899\right)/10$$

$$x_2=\left(-2-4,899\right)/10$$

$$x_2=\left(-6,899\right)/10$$

$$x_2=-6,\frac{899}{10}$$

$$x_2=-0,69$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,69, 0,29.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5x^2+2x-1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$