Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x < 0, 268 or x > 3, 732

x<0,268 or x>3,732

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, 0, 268) ⋃ (3, 732, \infty)

x∈(-∞,0,268)⋃(3,732,∞)

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$5 x^{2} + 2 x + 9 > 3 x^{2} + 10 x + 7$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(5 x^{2} + 2 x + 9) - 10 x > (3 x^{2} + 10 x + 7) - 10 x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + (2 x - 10 x) + 9 > (3 x^{2} + 10 x + 7) - 10 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 8 x + 9 > (3 x^{2} + 10 x + 7) - 10 x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} - 8 x + 9 > 3 x^{2} + (10 x - 10 x) + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} - 8 x + 9 > 3 x^{2} + 7$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(5 x^{2} - 8 x + 9) - 3 x^{2} > (3 x^{2} + 7) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x^{2} - 3 x^{2}) - 8 x + 9 > (3 x^{2} + 7) - 3 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 8 x + 9 > (3 x^{2} + 7) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} - 8 x + 9 > (3 x^{2} - 3 x^{2}) + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 8 x + 9 > 7$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(2 x^{2} - 8 x + 9) - 9 > 7 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 8 x > 7 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 8 x > - 2$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 2$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} - 8 x > - 2$

Adicionar $- 2$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} - 8 x + 2 > - 2 + 2$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} - 8 x + 2 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} - 8 x + 2 > 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = -8

$c$ = 2

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = - 8$
$c = 2$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 8 * 2)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 16)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (48)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (48)) / (4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (8 \pm s q r t (48)) / 4$

para obter o resultado:

$x = (8 \pm s q r t (48)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(48)}$

Simplificar $48$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>48</math>:

A fatoração prima de $48$ é $2^{4} \cdot 3$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{48} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}$

5. Resolver a equação para x

$x = (8 \pm 4 * s q r t (3)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (8 + 4 * s q r t (3)) / 4$ e $x_{2} = (8 - 4 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (8 + 4 * s q r t (3)) / 4$

Remova os parênteses

$x_{1} = (8 + 4 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (8 + 4 * 1, 732) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = (8 + 4 * 1, 732) / 4$

$x_{1} = (8 + 6, 928) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (8 + 6, 928) / 4$

$x_{1} = (14, 928) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = 14, \frac{928}{4}$

$x_{1} = 3, 732$

$x_{2} = (8 - 4 * s q r t (3)) / 4$

Remova os parênteses

$x_{2} = (8 - 4 * s q r t (3)) / 4$

$x_{2} = (8 - 4 * 1, 732) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = (8 - 4 * 1, 732) / 4$

$x_{2} = (8 - 6, 928) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (8 - 6, 928) / 4$

$x_{2} = (1, 072) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = 1, \frac{072}{4}$

$x_{2} = 0, 268$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,268, 3,732.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $2 x^{2} - 8 x + 2 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (48)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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