Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$5x^2+17x-12<0$$, são:

$$a$$ = 5

$$b$$ = 17

$$c$$ = -12

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left({17}^2-4*5*-12\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(289-4*5*-12\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(289-20*-12\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(289--240\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(289+240\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(10\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-17\pm sqrt\left(529\right)\right)/10$$

Simplificar $$529$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$529$$ é $${23}^2$$

$$x=\left(-17\pm 23\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-17+23\right)/10$$ e $$x_2=\left(-17-23\right)/10$$

$$x_1=\left(-17+23\right)/10$$

$$x_1=\left(-17+23\right)/10$$

$$x_1=\left(6\right)/10$$

$$x_1=\frac{6}{10}$$

$$x_1=0,6$$

$$x_2=\left(-17-23\right)/10$$

$$x_2=\left(-17-23\right)/10$$

$$x_2=\left(-40\right)/10$$

$$x_2=-\frac{40}{10}$$

$$x_2=-4$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4, 0,6.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5x^2+17x-12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$