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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

+

<

>

0

,

.

=

abc

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 2, 333 < x < - 1

-2,333<x<-1

Notação de intervalo:

x \in (- 2.333; - 1)

x∈(-2.333;-1)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$5 x^{2} + 11 x + 3 < 2 x^{2} + x - 4$

Subtrair 3 de ambos os lados:

$(5 x^{2} + 11 x + 3) - x < (2 x^{2} + x - 4) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + (11 x - x) + 3 < (2 x^{2} + x - 4) - x$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 10 x + 3 < (2 x^{2} + x - 4) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$5 x^{2} + 10 x + 3 < 2 x^{2} + (x - x) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$5 x^{2} + 10 x + 3 < 2 x^{2} - 4$

Subtrair 3 de ambos os lados:

$(5 x^{2} + 10 x + 3) - 2 x^{2} < (2 x^{2} - 4) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x^{2} - 2 x^{2}) + 10 x + 3 < (2 x^{2} - 4) - 2 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 10 x + 3 < (2 x^{2} - 4) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x^{2} + 10 x + 3 < (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 10 x + 3 < - 4$

Subtrair 3 de ambos os lados:

$(3 x^{2} + 10 x + 3) - 3 < - 4 - 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 10 x < - 4 - 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 10 x < - 7$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 7$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 10 x < - 7$

Adicionar $- 7$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 10 x + 7 < - 7 + 7$

Simplificar a expressão

$3 x^{2} + 10 x + 7 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} + 10 x + 7 < 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = 10

$c$ = 7

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = 10$
$c = 7$

$x = (- 10 \pm s q r t (10^{2} - 4 * 3 * 7)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * 3 * 7)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 12 * 7)) / (2 * 3)$

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 84)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 10 \pm s q r t (16)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (16)) / (6)$

para obter o resultado:

$x = (- 10 \pm s q r t (16)) / 6$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(16)}$

Simplificar $16$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>16</math>:

A fatoração prima de $16$ é $2^{4}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{16} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 = 4$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 10 \pm 4) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 10 + 4) / 6$ e $x_{2} = (- 10 - 4) / 6$

$x_{1} = (- 10 + 4) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 10 + 4) / 6$

$x_{1} = (- 6) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = - \frac{6}{6}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = (- 10 - 4) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 10 - 4) / 6$

$x_{2} = (- 14) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{14}{6}$

$x_{2} = - 2, 333$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,333, -1.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $3 x^{2} + 10 x + 7 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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