Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

r < 1, 683 or r > 8, 317

r<1,683 or r>8,317

Notação de intervalo:

r \in (- \infty, 1, 683) ⋃ (8, 317, \infty)

r∈(-∞,1,683)⋃(8,317,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a r^{2} + b r + c > 0$

Adicionar $- 70$ a ambos os lados da equação.

$5 r^{2} - 50 r > - 70$

Adicionar $- 70$ a ambos os lados da equação.

$5 r^{2} - 50 r + 70 > - 70 + 70$

Simplificar a expressão

$5 r^{2} - 50 r + 70 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $5 r^{2} - 50 r + 70 > 0$ , são:

$a$ = 5

$b$ = -50

$c$ = 70

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a r^{2} + b r + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$r = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 5$
$b = - 50$
$c = 70$

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (- 50^{2} - 4 * 5 * 70)) / (2 * 5)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (2500 - 4 * 5 * 70)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (2500 - 20 * 70)) / (2 * 5)$

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (2500 - 1400)) / (2 * 5)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (1100)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r = (- 1 * - 50 \pm s q r t (1100)) / (10)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r = (50 \pm s q r t (1100)) / 10$

para obter o resultado:

$r = (50 \pm s q r t (1100)) / 10$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(1100)}$

Simplificar $1100$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>1100</math>:

A fatoração prima de $1100$ é $2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{1100} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11} = \sqrt{2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{11}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 5 \cdot \sqrt{11} = 10 \cdot \sqrt{11}$

5. Resolver a equação para r

$r = (50 \pm 10 * s q r t (11)) / 10$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $r_{1} = (50 + 10 * s q r t (11)) / 10$ e $r_{2} = (50 - 10 * s q r t (11)) / 10$

$r_{1} = (50 + 10 * s q r t (11)) / 10$

Começamos por calcular a expressão entre parêntesis.

$r_{1} = (50 + 10 * s q r t (11)) / 10$

$r_{1} = (50 + 10 * 3, 317) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r_{1} = (50 + 10 * 3, 317) / 10$

$r_{1} = (50 + 33, 166) / 10$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$r_{1} = (50 + 33, 166) / 10$

$r_{1} = (83, 166) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r_{1} = 83, \frac{166}{10}$

$r_{1} = 8, 317$

$r_{2} = (50 - 10 * s q r t (11)) / 10$

Começamos por calcular a expressão entre parêntesis.

$r_{2} = (50 - 10 * s q r t (11)) / 10$

$r_{2} = (50 - 10 * 3, 317) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r_{2} = (50 - 10 * 3, 317) / 10$

$r_{2} = (50 - 33, 166) / 10$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$r_{2} = (50 - 33, 166) / 10$

$r_{2} = (16, 834) / 10$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r_{2} = 16, \frac{834}{10}$

$r_{2} = 1, 683$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,683, 8,317.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $5 r^{2} - 50 r + 70 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (1100)

5. Resolver a equação para r

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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