Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{n}^2+bn+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(-{22}^2-4*5*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484-4*5*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484-20*-21\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484--420\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(484+420\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(904\right)\right)/\left(2*5\right)$$

$$n=\left(-1*-22\pm sqrt\left(904\right)\right)/\left(10\right)$$

$$n=\left(22\pm sqrt\left(904\right)\right)/10$$

para obter o resultado:

$$n=\left(22\pm sqrt\left(904\right)\right)/10$$

Simplificar $$904$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$904$$ é $$2^3\cdot 113$$

$$n=\left(22\pm 2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$n_1=\left(22+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$ e $$n_2=\left(22-2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(22+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(22+2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_1=\left(22+2*15,033\right)/10$$

$$n_1=\left(22+2*15,033\right)/10$$

$$n_1=\left(22+30,067\right)/10$$

$$n_1=\left(22+30,067\right)/10$$

$$n_1=\left(52,067\right)/10$$

$$n_1=52,\frac{067}{10}$$

$$n_1=5,207$$

$$n_2=\left(22-2*sqrt\left(226\right)\right)/10$$

$$n_2=\left(22-2*15,033\right)/10$$

$$n_2=\left(22-2*15,033\right)/10$$

$$n_2=\left(22-30,067\right)/10$$

$$n_2=\left(22-30,067\right)/10$$

$$n_2=\left(-8,067\right)/10$$

$$n_2=-8,\frac{067}{10}$$

$$n_2=-0,807$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,807, 5,207.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=5), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$5n^2-22n-21\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$