Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(-2^2-4*4*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-4*4*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-16*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4--256\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4+256\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(260\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-2\pm sqrt\left(260\right)\right)/\left(8\right)$$

$$x=\left(2\pm sqrt\left(260\right)\right)/8$$

para obter o resultado:

$$x=\left(2\pm sqrt\left(260\right)\right)/8$$

Simplificar $$260$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$260$$ é $$2^2\cdot 5\cdot 13$$

$$x=\left(2\pm 2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(2+2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$ e $$x_2=\left(2-2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(2+2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(2+2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(2+2*8,062\right)/8$$

$$x_1=\left(2+2*8,062\right)/8$$

$$x_1=\left(2+16,125\right)/8$$

$$x_1=\left(2+16,125\right)/8$$

$$x_1=\left(18,125\right)/8$$

$$x_1=18,\frac{125}{8}$$

$$x_1=2,266$$

$$x_2=\left(2-2*sqrt\left(65\right)\right)/8$$

$$x_2=\left(2-2*8,062\right)/8$$

$$x_2=\left(2-2*8,062\right)/8$$

$$x_2=\left(2-16,125\right)/8$$

$$x_2=\left(2-16,125\right)/8$$

$$x_2=\left(-14,125\right)/8$$

$$x_2=-14,\frac{125}{8}$$

$$x_2=-1,766$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,766, 2,266.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4x^2-2x-16>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$