Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(-{16}^2-4*4*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(256-4*4*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(256-16*-16\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(256--256\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(256+256\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(512\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-1*-16\pm sqrt\left(512\right)\right)/\left(8\right)$$

$$x=\left(16\pm sqrt\left(512\right)\right)/8$$

para obter o resultado:

$$x=\left(16\pm sqrt\left(512\right)\right)/8$$

Simplificar $$512$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$512$$ é $$2^9$$

$$x=\left(16\pm 16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(16+16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$ e $$x_2=\left(16-16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(16+16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(16+16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(16+16*1,414\right)/8$$

$$x_1=\left(16+16*1,414\right)/8$$

$$x_1=\left(16+22,627\right)/8$$

$$x_1=\left(16+22,627\right)/8$$

$$x_1=\left(38,627\right)/8$$

$$x_1=38,\frac{627}{8}$$

$$x_1=4,828$$

$$x_2=\left(16-16*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$x_2=\left(16-16*1,414\right)/8$$

$$x_2=\left(16-16*1,414\right)/8$$

$$x_2=\left(16-22,627\right)/8$$

$$x_2=\left(16-22,627\right)/8$$

$$x_2=\left(-6,627\right)/8$$

$$x_2=-6,\frac{627}{8}$$

$$x_2=-0,828$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,828, 4,828.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4x^2-16x-16\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$