Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 1, 75 < x < 2

-1,75<x<2

Notação de intervalo:

x \in (- 1.75; 2)

x∈(-1.75;2)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

11 passos adicionais

$4 x^{2} - 14 < x$

Subtrair 4{x}^{2} de ambos os lados:

$(4 x^{2} - 14) - x < x - x$

Simplificar a expressão aritmética:

$(4 x^{2} - 14) - x < 0$

Subtrair 4{x}^{2} de ambos os lados:

$((4 x^{2} - 14) - x) - (4 x^{2} - 14) < 0 - (4 x^{2} - 14)$

Expandir os parêntesis:

$4 x^{2} - 14 - x - 4 x^{2} + 14 < 0 - (4 x^{2} - 14)$

Agrupar termos semelhantes:

$(4 x^{2} - 4 x^{2}) - x + (- 14 + 14) < 0 - (4 x^{2} - 14)$

Simplificar a expressão aritmética:

$0 x^{2} - x < 0 - (4 x^{2} - 14)$

$- x < 0 - (4 x^{2} - 14)$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x < - (4 x^{2} - 14)$

Expandir os parêntesis:

$- x < - 4 x^{2} + 14$

Adicionar $4 x^{2}$ em ambos os lados:

$- x + 4 x^{2} < (- 4 x^{2} + 14) + 4 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$- x + 4 x^{2} < (- 4 x^{2} + 4 x^{2}) + 14$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + 4 x^{2} < 14$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $14$ de ambos os lados da desigualdade:

$4 x^{2} - 1 x < 14$

Subtrair $14$ de ambos os lados:

$4 x^{2} - 1 x - 14 < 14 - 14$

Simplificar a expressão

$4 x^{2} - 1 x - 14 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $4 x^{2} - 1 x - 14 < 0$ , são:

$a$ = 4

$b$ = -1

$c$ = -14

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 4$
$b = - 1$
$c = - 14$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 1^{2} - 4 * 4 * - 14)) / (2 * 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 4 * 4 * - 14)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 16 * - 14)) / (2 * 4)$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - - 224)) / (2 * 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 + 224)) / (2 * 4)$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (225)) / (2 * 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (225)) / (8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (1 \pm s q r t (225)) / 8$

para obter o resultado:

$x = (1 \pm s q r t (225)) / 8$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(225)}$

Simplificar $225$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>225</math>:

A fatoração prima de $225$ é $3^{2} \cdot 5^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{225} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{3^{2} \cdot 5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{3^{2} \cdot 5^{2}} = 3 \cdot 5$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$3 \cdot 5 = 15$

5. Resolver a equação para x

$x = (1 \pm 15) / 8$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (1 + 15) / 8$ e $x_{2} = (1 - 15) / 8$

$x_{1} = (1 + 15) / 8$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (1 + 15) / 8$

$x_{1} = (16) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{16}{8}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = (1 - 15) / 8$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (1 - 15) / 8$

$x_{2} = (- 14) / 8$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{14}{8}$

$x_{2} = - 1, 75$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,75, 2.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $4 x^{2} - 1 x - 14 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (225)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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