Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left({23}^2-4*4*-10\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529-4*4*-10\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529-16*-10\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529--160\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529+160\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(689\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(689\right)\right)/\left(8\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(689\right)\right)/8$$

Simplificar $$689$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$689$$ é $$13\cdot 53$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(689\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-23+sqrt\left(689\right)\right)/8$$ e $$x_2=\left(-23-sqrt\left(689\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-23+sqrt\left(689\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-23+sqrt\left(689\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-23+26,249\right)/8$$

$$x_1=\left(-23+26,249\right)/8$$

$$x_1=\left(3,249\right)/8$$

$$x_1=3,\frac{249}{8}$$

$$x_1=0,406$$

$$x_2=\left(-23-sqrt\left(689\right)\right)/8$$

$$x_2=\left(-23-26,249\right)/8$$

$$x_2=\left(-23-26,249\right)/8$$

$$x_2=\left(-49,249\right)/8$$

$$x_2=-49,\frac{249}{8}$$

$$x_2=-6,156$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -6,156, 0,406.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4x^2+23x-10>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$