Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left({210}^2-4*4*-6\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-4*4*-6\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-16*-6\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100--96\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100+96\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44196\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44196\right)\right)/\left(8\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44196\right)\right)/8$$

Simplificar $$44196$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$44196$$ é $$2^2\cdot 3\cdot 29\cdot 127$$

$$x=\left(-210\pm 2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$ e $$x_2=\left(-210-2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+2*105,114\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+2*105,114\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+210,228\right)/8$$

$$x_1=\left(-210+210,228\right)/8$$

$$x_1=\left(0,228\right)/8$$

$$x_1=0,\frac{228}{8}$$

$$x_1=0,029$$

$$x_2=\left(-210-2*sqrt\left(11049\right)\right)/8$$

$$x_2=\left(-210-2*105,114\right)/8$$

$$x_2=\left(-210-2*105,114\right)/8$$

$$x_2=\left(-210-210,228\right)/8$$

$$x_2=\left(-210-210,228\right)/8$$

$$x_2=\left(-420,228\right)/8$$

$$x_2=-420,\frac{228}{8}$$

$$x_2=-52,529$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -52,529, 0,029.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4x^2+210x-6<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$