Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(-{37}^2-4*4*-40\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(1369-4*4*-40\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(1369-16*-40\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(1369--640\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(1369+640\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(2009\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$t=\left(-1*-37\pm sqrt\left(2009\right)\right)/\left(8\right)$$

$$t=\left(37\pm sqrt\left(2009\right)\right)/8$$

para obter o resultado:

$$t=\left(37\pm sqrt\left(2009\right)\right)/8$$

Simplificar $$2009$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$2009$$ é $$7^2\cdot 41$$

$$t=\left(37\pm 7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(37+7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$ e $$t_2=\left(37-7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$

$$t_1=\left(37+7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$

$$t_1=\left(37+7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$

$$t_1=\left(37+7*6,403\right)/8$$

$$t_1=\left(37+7*6,403\right)/8$$

$$t_1=\left(37+44,822\right)/8$$

$$t_1=\left(37+44,822\right)/8$$

$$t_1=\left(81,822\right)/8$$

$$t_1=81,\frac{822}{8}$$

$$t_1=10,228$$

$$t_2=\left(37-7*sqrt\left(41\right)\right)/8$$

$$t_2=\left(37-7*6,403\right)/8$$

$$t_2=\left(37-7*6,403\right)/8$$

$$t_2=\left(37-44,822\right)/8$$

$$t_2=\left(37-44,822\right)/8$$

$$t_2=\left(-7,822\right)/8$$

$$t_2=-7,\frac{822}{8}$$

$$t_2=-0,978$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,978, 10,228.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4t^2-37t-40<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$