Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*4*-4\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*4*-4\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-16*-4\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--64\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64+64\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(128\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-8\pm sqrt\left(128\right)\right)/\left(8\right)$$

$$k=\left(8\pm sqrt\left(128\right)\right)/8$$

para obter o resultado:

$$k=\left(8\pm sqrt\left(128\right)\right)/8$$

Simplificar $$128$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$128$$ é $$2^7$$

$$k=\left(8\pm 8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(8+8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$ e $$k_2=\left(8-8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(8+8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(8+8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(8+8*1,414\right)/8$$

$$k_1=\left(8+8*1,414\right)/8$$

$$k_1=\left(8+11,314\right)/8$$

$$k_1=\left(8+11,314\right)/8$$

$$k_1=\left(19,314\right)/8$$

$$k_1=19,\frac{314}{8}$$

$$k_1=2,414$$

$$k_2=\left(8-8*sqrt\left(2\right)\right)/8$$

$$k_2=\left(8-8*1,414\right)/8$$

$$k_2=\left(8-8*1,414\right)/8$$

$$k_2=\left(8-11,314\right)/8$$

$$k_2=\left(8-11,314\right)/8$$

$$k_2=\left(-3,314\right)/8$$

$$k_2=-3,\frac{314}{8}$$

$$k_2=-0,414$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,414, 2,414.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4k^2-8k-4<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$